Часть B

Решение первой части демонстрационного варианта ЕГЭ за 2011 год.
B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 | B7 | B8 | B9 | B10 | B11 | B12

B11

Найдите наибольшее значение функции
                    √ --
             √ --   --3π-
y = 2cos x +   3x -   3
на отрезке
   π
[0;--].
   2

Решение

Чтобы найти наибольшее значение на отрезке, нужно найти экстремумы функции и сравнить их со значенями функции на концах отрезка. Подозрительные на экстремум точки - это точки, в которых производная функции равна нулю. Найдем производную и выясним, в каких точках она равна нулю.

                     √ --                           √ --
 ′            √ --     3π  ′          ′   √ --  ′     3π  ′
y = (2 cosx +   3x - -----) = (2 cosx) +  ( 3x ) - (-----) =
                       3                              3
               √--                 √ --
= 2 (-  sin x) +  3 - 0 =  - 2 sin x +  3

Выясним в каких точках производная равна нулю.

             --
- 2sin x + √ 3 = 0
         √ --
2 sin x =   3
         --
       √ 3
sin x = ----
        2
                 √ --
         k         3
x = (- 1) arcsin ---+  πk,k ∈ Z
                  2

В условиях задачи задан отрезок [0; π2], поэтому нам нужно выбрать только значения из этого промежутка. Этому условию удовлетворяет только точка x = π
3.

Найдем значение функции в этой точке:

                 √ --      √ --           √ --   √ --
y(π-) = 2cos π-+   3 ⋅ π-- --3π-= 2 ⋅ 1-+ --3π-- --3π- = 1
  3          3        3     3        2     3       3

Найдем значения функции на концах отрезка:

                        √ --        √ --
               √ --       3π          3π
y(0) = 2cos0 +   3 ⋅ 0 ------=  2 - -----
                          3           3
                           √ --           √--    √ --    √ --
   π-        π-   √-- π-   --3π-          -3-π-  --3π-   --3π-
y (2) = 2 cos2 +   3 ⋅ 2 -   3  =  2 ⋅ 0 + 2   -   3  =    6

Выбираем максимальное из трех значений 1, 2 - -
√3π-
 3,  -
√3π-
 6. Это 1.

Ответ: 1

Следующее задание >>